القوى في بعدين – المتجهات

شرح درس المتجهات – القوى في بعدين

 

مراجعة مفهوم المتجهات :

إذا دفعت أنت وصديقك طاولة وأثر كل منكما فيها بقوة 40 N  وحركتماها باتجاه اليمين فإن القوة الناتجة أو المحصلة تساوي مجموع قوتيكما أي 80 N  وقمنا بجمع القوى لأنها في الاتجاه نفسه أي نحو اليمين .

يظهر الشكل التالي مخطط الجسم الحر لكل من القوتين وأيضا لمحصلة هاتين القوتين حيث سيكون اتجاهها في نفس اتجاه كل من القوتين .

المتجهات في أبعاد متعددة :

يمكننا جمع المتجهات حتى وان لم تكن في نفس الاتجاه وذلك من خلال وضع ذيل متجه على رأس متجه الأخر , ثم رسم المتجه المحصل بتوصيل ذيل المتجه الأول مع رأس المتجه الثاني . كما يلي :

•      1) لدينا متجهان أحدهما نحو اليمين والأخر يتجه  إلى أعلى

•      2) نقوم بوضع ذيل متجه الذي يتجه إلى أعلى على رأس المتجه الذي يتجه إلى اليمين (مع الحفاظ على اتجاه كل منهما , ويجب أن لا يتغير طول أي منهما )

•      3) ارسم متجه المحصلة بتوصيل ذيل الأول (الذي يتجه إلى اليمين) مع رأس المتجه الآخر .

لاحظ أن الشكل الناتج هو مثلث قائم الزاوية فلإيجاد طول المحصلة فننا نستعمل نظرية فيثاغورس

نظرية فيثاغورس :

النص الفيزيائي لنظرية فيثاغورس : “إذا كانت الزاوية بين المتجهين A  و B  قائمة فإن مجموع مربعي مقداري المتجهين يساوي مربع مقدار المتجه المحصل ” .

حسننا ماذا إن لم تكن الزاوية بين المتجهين A  و B  تساوي 90 ؟

في هذه الحالة يمكننا ان نستخدم قانون جيب التمام أو قانون الجيب . وهما :

قانون جيب التمام  :

النص الفيزيائي لقانون جيب التمام : “مربع مقدار المتجه المحصل يساوي مجموع  مربعي مقداري المتجهين          مطروحا منه ضعف حاصل ضرب مقداري المتجهين مضروبا في جيب تمام الزاوية التي بينهما “.

قانون الجيب :

النص الفيزيائي لقانون الجيب : “مقدار المحصلة مقسوما على جيب الزاوية التي بين المتجهين يساوي مقدار   أحد المتجهين مقسوما على جيب الزاوية التي تقابله ”

مركبات المتجهات :

سبق وان تطرقنا إلى النظام الاحداثي وقلنا أنه مكون من خط افقي يمثل الاتجاه الموجب (X) و خط رأسي يمثل الاتجاه الموجب (Y) وفي المنطقة بين هذين الخطين قمنا بوضع مربعات تحدد نقاط تقاطع كل نقطة من المحور X  مع مثيلتها في محور Y   وذلك على شكل شبكة . كما حددنا نقطة تقاطع المحورين واشرنا إلى تسميتها بـ(نقطة الأصل )

حسننا دعنا نقوم بتمثيل متجهنا السابق على النظام الاحداثي . كما في الشكل التالي :

كما نرى في الشكل فلقد قمنا بوضع المتجه الذي يتجه نحو اليمين على محور X  بينما وضعنا المتجه الذي يتجه إلى أعلى عند نهاية المتجه الأول بحيث يكون موازيا لمحور Y  , ثم رسمنا المحصلة من ذيل الأول إلى رأس الثاني بحيث يبدأ المتجه من نقطة الأصل .

المفيد هنا هو أنه من خلال رسمنا للمتجهات على النظام الإحداثي فإنه سيكون من السهل تحديد طول المتجه المحصل وزاويته واتجاهه وذلك بالنظر إلى الرسم على النظام الإحداثي .

A = Ax + Ay

تحليل المتجه : هي عملية تجزئة المتجه إلى مركباته .

ملاحظة : يسمى المتجهان Ax  و Ay  بمركبتي المحصلة A

ملاحظة مهمة : بما أن المتجه المحصلة يمثل الوتر في المثلث قائم الزاوية فهذا يعني أن مقدار المحصلة دائما أكبر من مقدار أي من مركبتي المحصلة  .

لحساب الزاوية للمتجه Ax فإننا نستخدم القانون :

لحساب الزاوية للمتجه Ax فإننا نستخدم القانون :

ملاحظة : عندما تكون الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور X الموجب أكبر من 90 فإن إشارة إحدى المركبتين أو كلاهما تكون سالبة . ومن المهم معرفة أن إشارة المركبة تعتمد على الربع الذي تقع فيه .

 

 

حنين الصاعدي